1 前言

　　隨著經(jīng)濟建設(shè)的發(fā)展，工程設(shè)計人員需要有更系統(tǒng)、更科學(xué)的設(shè)計思想和方法，以達到提高產(chǎn)品開發(fā)效率、節(jié)約原材料、降低成本及提高產(chǎn)品質(zhì)量的目的，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計則是實現(xiàn)這些目的較佳手段[1]。由于設(shè)計變量類型的不同，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計可以分為由易到難的四個不同層次：尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化、形貌優(yōu)化和拓撲布局優(yōu)化。由于拓撲優(yōu)化設(shè)計的難度較大，被公認為是當(dāng)前結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域內(nèi)最具有挑戰(zhàn)性的課題之一。但是在工程應(yīng)用中，拓撲優(yōu)化可以提供概念性設(shè)計方案，取得的經(jīng)濟效益比尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化更大，因此，拓撲優(yōu)化技術(shù)對工程設(shè)計人員更具吸引力，已經(jīng)成為當(dāng)今結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計研究的一個熱點。本文結(jié)合作者的研究工作，對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的發(fā)展和研究現(xiàn)狀進行了回顧，并介紹了拓撲優(yōu)化技術(shù)在發(fā)動機零部件設(shè)計中的成功應(yīng)用案例。

　　2 拓撲優(yōu)化設(shè)計的研究概述

　　結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化按其研究對象的不同，一般分為兩類：桁架類結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化和連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化。而目前的研究成果主要是從桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方面發(fā)展起來的。1904 年Michell 對桁架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化進行研究，他用解析方法研究了一個載荷作用下應(yīng)力約束的結(jié)構(gòu)，得到重量最輕的最優(yōu)桁架所應(yīng)滿足的條件，后來稱為Michell 準(zhǔn)則，并把滿足Michell 準(zhǔn)則的桁架稱為Michell 桁架。這是結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計理論研究的里程碑。Michell 理論在近幾十年得到了重要發(fā)展。Cox證明了Michell 桁架就是最小柔度設(shè)計；Hegeminer等將Michell 準(zhǔn)則推廣到剛度、動力參數(shù)優(yōu)化以及非線性彈性等情況；Hemp糾正了其中的一些錯誤，求解了多種不同荷載形式下Michell 桁架的具體形式；Rozvany對Michell 桁架的唯一性以及桿件的正交性做了討論，對Michell 準(zhǔn)則做了進一步修正，求解了多種不同邊界約束條件下Michell 桁架的具體形式；周克民等采用有限元方法計算出了Michell 桁架。這些研究對于整個結(jié)構(gòu)優(yōu)化學(xué)科的發(fā)展都有深刻的意義。

　　必須指出，對于Michell 桁架的研究，均是在上個世紀(jì)60 年代以后的事情，正是在那時由于有限元方法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法和計算機的發(fā)展導(dǎo)致結(jié)構(gòu)優(yōu)化成為一門獨立學(xué)科，數(shù)值方法成為重要手段，截面與幾何層次的優(yōu)化發(fā)展為拓撲層次的研究提供了基礎(chǔ)。這個時期代表性的研究工作開始主要是以1964 年Dorn，Gomory，Greenberg等提出的“基結(jié)構(gòu)法”為基礎(chǔ)，廣泛開展連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究。1988 年，Bends.e 和Kikuchi從程耿東和Olhoff等在最小柔順性實心彈性薄板優(yōu)化設(shè)計的研究工作中得到啟迪，引入了具有空心的單胞微結(jié)構(gòu)，提出了基于均勻化理論的均勻化方法和連續(xù)體拓撲優(yōu)化的概念，開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計研究的新局面。隨后，通過Tenek 和Hagiwara、程耿東和王健、周克民和胡云昌 等人的研究，發(fā)展和推進了變厚度法理論的應(yīng)用。

　　變密度法則是受均勻化方法的啟發(fā)而發(fā)展的，它不必構(gòu)造微結(jié)構(gòu)，而是人為地引入一種假想密度在0～1 之間可變的材料，以材料密度為拓撲設(shè)計變量，直接定義一個經(jīng)驗公式來表達密度與彈性模量間假定的函數(shù)關(guān)系，這樣結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化問題就被轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。1999 年Bends.e 和Sigmund 證實了該方法物理意義的存在性。曾金玲和雷雨成等 利用變密度法將拓撲優(yōu)化技術(shù)成功應(yīng)用于汽車零部件的設(shè)計和改進。吳中博和李書則在航天航空方面利用變密度法拓撲優(yōu)化技術(shù)解決工程問題。變密度法避免了均勻化方法的微結(jié)構(gòu)構(gòu)造，但是代之以人造密度的假定，造成最終必須處理中間密度的困難，這就要求研究人員具有豐富的拓撲優(yōu)化設(shè)計經(jīng)驗，避免優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)棋盤格、分析不收斂等問題。本文案例則全部基于變密度法，所以下文闡述了變密度法的基本原理。

　　受結(jié)構(gòu)靜力拓撲優(yōu)化發(fā)展的推動，近年來，在結(jié)構(gòu)動力拓撲優(yōu)化研究方面也取得了一些令人鼓舞的進展。Lim 等用均勻化方法對膜結(jié)構(gòu)進行了多個固有頻率極大化的拓撲優(yōu)化，Kikuchi 等 用改進的均勻化方法求解了特征值拓撲優(yōu)化問題，Min 等利用均勻化和直接積分方法對沖擊載荷作用下的薄板結(jié)構(gòu)進行了拓撲優(yōu)化設(shè)計。Xie 等用進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對連續(xù)體結(jié)構(gòu)頻率約束問題進行了拓撲優(yōu)化，包括最大化或最小化指定階頻率，最大化指定兩頻率間間隔等問題，隨后又對結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)進行了拓撲優(yōu)化。

　　2 拓撲優(yōu)化案例

　　利用澳汰爾公司OptiStruct 商業(yè)優(yōu)化軟件，作者在多種發(fā)動機產(chǎn)品開發(fā)和技術(shù)改進項目中，對發(fā)動機零部件進行拓撲優(yōu)化設(shè)計，改善結(jié)構(gòu)性能，實現(xiàn)了產(chǎn)品的自主創(chuàng)新設(shè)計。

　　2.1 發(fā)動機主軸承座的拓撲優(yōu)化設(shè)計（位移作約束）

　　發(fā)動機運轉(zhuǎn)期間，主軸承座承受多種載荷，這些載荷包括：螺栓預(yù)緊載荷、軸瓦過盈載荷及曲軸動載荷等。目前，主軸承座的主要評價指標(biāo)是結(jié)構(gòu)的強度、剛度是否滿足設(shè)計需求。在明確主軸承座承載情況和設(shè)計要求的前提下，作者對某大馬力發(fā)動機原有主軸承座進行了最大爆發(fā)壓力工況下的有限元分析，分析模型及主軸承座軸瓦徑向變形量見圖1（a）、圖1 （b）和圖1（c）。通過主軸承座的強度分析和動態(tài)疲勞安全系數(shù)分析可以得知：主軸承座的動態(tài)疲勞安全系數(shù)為1.843，遠遠大于安全系數(shù)閥值1，所以主軸承座的強度足以滿足設(shè)計需求。而從圖1（b）可以得知軸瓦在變形后水平方向徑向減小0.0739mm ，已經(jīng)接近曲軸、軸瓦徑向間隙最小值0.079mm，這容易導(dǎo)致曲軸與軸瓦間缺少油膜潤滑，形成干摩擦，最終導(dǎo)致曲軸磨損加劇，發(fā)動機動載荷增加，甚至機毀人亡的悲劇；另外從圖1（c）可以得知軸瓦在變形后上下方向徑向增加0.0971mm ，小于軸瓦徑向變形許可值0.147mm 。所以，根據(jù)有限元分析結(jié)果可以判斷：主軸承座在水平方向的剛度不足夠，應(yīng)該改進現(xiàn)有結(jié)構(gòu)，提高其剛度性能。

圖1 發(fā)動機主軸承座有限元分析模型及軸瓦徑向變形圖

圖2 發(fā)動機主軸承座拓撲優(yōu)化模型和優(yōu)化后的幾何模型圖

　　根據(jù)上述分析，作者針對主軸承座水平方向剛度小的問題，建立了以下拓撲優(yōu)化模型：

　　設(shè)計變量為整個主軸承座的單元相對密度；約束為軸瓦水平方向半徑變形量小于0.030mm； 目標(biāo)為主軸承座質(zhì)量最小。通過18 次迭代，優(yōu)化后的主軸承座拓撲形狀和光滑后的幾何形狀如圖2 所示。將所得優(yōu)化模型重新進行主軸承座強度、剛度校核，通過計算可以得知，優(yōu)化后的主軸承座較原有主軸承座質(zhì)量輕了6.87%；動態(tài)疲勞安全系數(shù)為1.833，強度指標(biāo)略微下降0.54%，但依然遠遠超過安全系數(shù)閥值1，所以優(yōu)化后的主軸承座仍滿足設(shè)計強度需求；通過安裝優(yōu)化主軸承座后的軸瓦變形量分析，可以得知，軸瓦在變形后水平方向徑向減小0.0626mm ，較原有安裝情況下的軸瓦變形減小15.29%，同時遠小于曲軸、軸瓦徑向間隙最小值0.079mm，所以優(yōu)化后的主軸承座已滿足水平剛度要求；雖然安裝優(yōu)化主軸承座后的軸瓦在變形后上下方向徑向增加0.0974mm ，較原有安裝情況下的軸瓦變形增大0.27%，但依然滿足小于軸瓦徑向變形許可值0.147mm 的剛度要求。因此，優(yōu)化后的主軸承座取代了原有設(shè)計方案，并實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計。

　　2.2 發(fā)動機后懸置支架的拓撲優(yōu)化設(shè)計（應(yīng)力作約束）

　　重型車上的發(fā)動機后懸置支架因為經(jīng)常承受較大的動載荷而斷裂，導(dǎo)致嚴(yán)重車禍，因此，該結(jié)構(gòu)應(yīng)該保證具有足夠的動態(tài)安全儲備系數(shù)。為了降低產(chǎn)品開發(fā)費用，縮短生產(chǎn)周期，某重型車發(fā)動機后懸置支架在開發(fā)設(shè)計階段要求校核結(jié)構(gòu)強度。在進行有限元分析時，考慮發(fā)動機后懸置支架經(jīng)常承受較大范圍的動載荷，因此計算時增加了相應(yīng)的安全系數(shù)，載荷變化范圍設(shè)在：-4Fz ～ + 6Fz 之間，F(xiàn)z為發(fā)動機后懸置支架勻速行駛于平路上的載荷。通過有限元分析和動態(tài)疲勞安全系數(shù)分析，從圖3 的疲勞安全系數(shù)分布云圖中可以得知，該支架的最小安全系數(shù)為0.87，小于安全系數(shù)閥值1，因此該支架設(shè)計方案不滿足強度設(shè)計要求。

　　根據(jù)設(shè)計要求，在不改變該支架基礎(chǔ)拓撲形狀的基礎(chǔ)上，通過增加加強筋的方式提高發(fā)動機后懸置支架強度。因此，作者以支架的單元相對密度為設(shè)計變量；以支架危險處的應(yīng)力作為約束，用支架質(zhì)量最小為目標(biāo)，在優(yōu)化過程中還增加了制造約束條件，保證所得結(jié)果能夠制造。通過29 次迭代，得到了圖4 所示的拓撲優(yōu)化形狀(圖4（a）)和光滑處理后的幾何形狀(圖4（b）)。并將所得優(yōu)化支架進行強度校核，優(yōu)化后的支架安全系數(shù)分布云圖如圖5 所示，支架最小安全系數(shù)轉(zhuǎn)移到新加筋的根部，值為1.03，大于安全系數(shù)閥值1，而原有支架危險處的安全系數(shù)升高到1.30，所以，優(yōu)化后的發(fā)動機后懸置支架已經(jīng)滿足強度設(shè)計要求。

圖3 發(fā)動機原有后懸置支架疲勞安全系數(shù)云圖

圖4 發(fā)動機后懸置支架拓撲優(yōu)化模型和優(yōu)化后的幾何模型圖

圖5 優(yōu)化后的發(fā)動機后懸置支架疲勞安全系數(shù)云圖

　　2.3 發(fā)動機排氣制動閥支架的拓撲優(yōu)化設(shè)計（頻率座約束）

　　排氣制動閥支架主要起支撐發(fā)動機渦輪增壓器的作用。某發(fā)動機排氣制動閥支架在使用過程中出現(xiàn)斷裂，為了找出斷裂原因，對該支架進行了強度校核和排氣系統(tǒng)模態(tài)分析，強度分析模型和系統(tǒng)模態(tài)分析模型分別見圖6(a)和圖6(b)。

圖6 支架有限元分析模型和系統(tǒng)模態(tài)分析模型

　　經(jīng)過支架的靜態(tài)強度校核和動態(tài)疲勞安全系數(shù)分析，其危險點疲勞安全系數(shù)云圖如7 所示，支架的最小安全系數(shù)為1.267，已經(jīng)大于人們默認的結(jié)構(gòu)安全最小閥值1，所以支架在靜態(tài)和動態(tài)載荷作用下已經(jīng)滿足結(jié)構(gòu)的強度需求，不會導(dǎo)致支架損壞。另一方面，通過模態(tài)分析發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)沿發(fā)動機橫向1 階振動固有頻率為103.7 Hz，支架振型如圖8 所示，其中灰色結(jié)構(gòu)為沒有發(fā)生振動的形態(tài)，深色結(jié)構(gòu)為系統(tǒng)沿發(fā)動機橫向1 階振動時支架的振型。而該發(fā)動機在常運轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速下要求支架系統(tǒng)固有頻率必須在110 Hz 以上，所以可以判斷支架損壞主要是由于共振造成的。根據(jù)上述結(jié)論，為避免支架損壞，只需要在滿足現(xiàn)有結(jié)構(gòu)強度的基礎(chǔ)上，提高支架系統(tǒng)的第一階固有頻率。

圖7 支架疲勞安全系數(shù)分布云圖

　　在進行動態(tài)優(yōu)化設(shè)計時還存在與靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計完全不同的難題。首先，動態(tài)的目標(biāo)函數(shù)不像靜態(tài)目標(biāo)函數(shù)那么穩(wěn)定。例如，在頻率拓撲優(yōu)化設(shè)計過程中，由于各階模態(tài)振型容易切換，從而導(dǎo)致以固有頻率為目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)不再光滑。第二，動態(tài)拓撲優(yōu)化時，目標(biāo)函數(shù)的靈敏度分析可能是非連續(xù)的。第三，如果動態(tài)拓撲優(yōu)化設(shè)計成為一個非凸性求解問題，適用于靜態(tài)拓撲優(yōu)化設(shè)計的迭代原理在此時就失去作用，導(dǎo)致迭代終止，優(yōu)化無法進行。由于這些原因，動態(tài)拓撲優(yōu)化設(shè)計在工程實際上的應(yīng)用受到了較大的限制。本文在進行支架的頻率拓撲優(yōu)化設(shè)計時，綜合考慮上述三點，建立了以支架頻率為約束的優(yōu)化模型，并且采用模態(tài)追蹤控制，避免了模態(tài)振型之間的相互切換。經(jīng)過25 次迭代，拓撲優(yōu)化后的模型和光滑后的幾何模型分別如圖9(a) 和圖9(b)所示。

圖8 原支架系統(tǒng)一階固有頻率振型（103.7 Hz ）

圖9 支架頻率拓撲優(yōu)化模型和優(yōu)化后的幾何模型圖

　　優(yōu)化后的支架經(jīng)過與原支架在相同條件下進行靜、動態(tài)強度分析和模態(tài)分析，優(yōu)化后的支架動態(tài)疲勞安全系數(shù)都大于8，整個支架受力均勻，沒有應(yīng)力集中部位，強度較原有支架大大提高；而且優(yōu)化后的支架系統(tǒng)沿發(fā)動機橫向1 階振動固有頻率達到111.5 Hz，該頻率已經(jīng)達到目標(biāo)要求；另外，通過質(zhì)量分析對比，該支架比原有支架減輕25.2% ；化后的支架還簡化了原有支架的加工工藝，一方面降低了生產(chǎn)成本，另一方面減少了沖壓過程中形成彎角褶皺的風(fēng)險。

　　3 結(jié)論

　　根據(jù)本文發(fā)動機各零部件拓撲優(yōu)化的例子成功展示了拓撲優(yōu)化技術(shù)是一個非常有用的工具，讓設(shè)計師可以根據(jù)產(chǎn)品的性能要求，在指定的設(shè)計空間內(nèi)快速、準(zhǔn)確的實現(xiàn)產(chǎn)品設(shè)計，另一方面，可以通過拓撲優(yōu)化改善結(jié)構(gòu)性能、減輕產(chǎn)品質(zhì)量，并找到一種全新的設(shè)計方案。

（轉(zhuǎn)載）